Trabajo práctico: Probabilidad y Estadística (Distribución Muestral)

Trabajo: Probabilidad y Estadística

DISTRIBUCIÓN DE MUESTRAS PARA UNA MEDIA

Definiciones

1.- Como se ha visto, la media aritmética es una medida descriptiva importante para caracterizar la tendencia central de una serie de datos. En muchas situaciones, se desea saber la media de una población. Esta información puede no estar disponible a menos que se extraiga una muestra de la población y se haga una inferencia respecto al parámetro basada en el análisis de los datos de la muestra. En vista de que la validez de este procedimiento inferencia depende de conocer la distribución muestral del estadístico implicado, es decir, la media muestral, se verá algo de esta materia antes de proceder.

El texto que sigue ilustra la construcción de una distribución muestral de la media muestral, calculada a partir de las muestras extraídas de una población muy pequeña. Es importante darse cuenta de que esto es sólo con propósitos de instrucción. En la práctica, no se construye en realidad una distribución muestral como una preliminar a la inferencia estadística.

Estadística para Administración y Economía

Daniel Terrell

Hill y Dale Nurseries emplea 1500 personas. Durante un año determinado, la cantidad media que contribuyeron para una colecta de caridad por empleado fue de $25.75.La desviación estándar fue de $5.25. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 100 empleados produzca una media entre $25.00 y $27.00?

Planteamiento

N =1500

μ =25.75

σ =5.25

n=100

P(25.00 ≤ X ≤ 27)

Formula

Z = X – M

T . ÖN-n

Ö n N-1

Sustitución

Z1 = 25-25.75

5.25 . Ö1500-100 =-1.47

Ö 100 1500-1

Z2= 27-25.5 = 2.46

5.25 . Ö1500-100

Ö100 1500-1

Conclusion

0.99305

-0.07080

0.92225

tabla 1 tabla 2

z 0.07 z 0.06

-1.4 0.0708 2.4 0.99305

Grafica

25.00 25.75 27.00

2.-Una distribución de muestreo de medias es de tipo probabilística e indica cuán probables son diversas medias de la muestra. La distribución es una función de la media, de la desviación estándar de la población, y del tamaño de la muestra. Para cada combinación de la media de la población, de la desviación estándar de la población y del tamaño de la muestra habrá una distribución de muestreo única de los valores medios de la muestra.

Estadística para Administración y Economía

William J. Stevenson

500 Cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5.02 onzas y una desviación estandar de 0.30 onzas . hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un peso total de mas de 5.10.

Planteamiento

N =500

μ =5.02

σ = 0.30

n=100

P( X > 5.10)

Formula

Z = X – M

T . ÖN-n

Ö n N-1

Sustitución

Z = 5.10-5.02

0.30 . Ö500-100 = 2.96

Ö 100 500-1

Conclusion

1.00000

-0.99846

0.00154

Tabla

z 0.07

-1.4 0.0708

Grafica

5.02 5.10

3.- Si se extrae una muestra al azar de tamaño n, con reposición, de una población con una media y una variancia, entonces las observaciones de la muestral son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

En esta derivación hemos empleado el teorema de que la variancia de una constante multiplicado por una variable es igual al cuadrado de la constante multiplicado por la variancia de la variable.

El error estándar de la media, que mide la variabilidad casual en medias de la muestra, es

sx = sx/Ön Población Infinita

sx = sx/Ön ÖN-n/N-1 Población Finita

Análisis Estadístico

Ya – Lun Chou

Planteamiento

Formula

x = 496 z = x – m

sx = 20 sx

n = 100

N = 100000

P(x < 496)

Sustitución

P(x < 496) = 496 – 500 = – 0.2

20

Tabla

z 0.00

-0.2 0.4207

Gráfica

0.4207

Conclusión

La probabilidad es 42 %

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA DOS MEDIAS

Definiciones

1.- En situaciones prácticas, a menudo se tiene interés en la diferencia entre dos medias poblacionales. Para hacer inferencias respecto a esta diferencia a partir de los datos muestrales, es necesario conocer las propiedades de la distribución muestral de la diferencia entre dos medias muestrales, X1 - X2.

En la práctica, no se intentaría construir en realidad la distribución muestral de la diferencia entre dos medias. Se puede, sin embargo, conceptuar con facilidad su construcción cuando las dos poblaciones de interés son finitas. Primero se seleccionan de la población 1, sin reemplazo, todas las muestras aleatorias simples posibles de tamaño nI y se calcula la media para cada muestra. Hay N1Cn de tales muestras, donde N1 es el tamaño de la población 1 y n1 es el tamaño de la muestra extraída de la población 1.

Formula

z = (x1 – x2) – (m1m2)

Ös12/n1 + s22/n2

Estadística para Administración y Economía

Daniel Terrell

Planteamiento

Formula

Compañía A Compañía B z = (x1 – x2) – (m1m2)

n = 20 n = 25 Ös12/n1 + s22/n2

m = 505 m = 475

s2 = 10 s2 = 7

Sustitución

Obtener z1

z1 = (25) – (505 – 475) = – 1.89

Ö102/20 + 72/25

Obtener z2

z2 = (35) – (505 – 475) = 1.89

Ö102/20 + 72/25

Tabla 1 Tabla 2

z 0.09 z 0.09

-1.8 0.0294 1.8 0.9706

Gráfica

-1.89 0 1.89

Conclusión

P(-1.89 £ z £ 1.89) = P(z £ 1.89) – P(z £ -1.89)

P(-1.89 £ z £ 1.89) = 0.9706 – 0.0294 = 0.9412

2.- En muchos campos de la investigación científica a menudo deseamos comparar las medias de dos variables aleatorias, tales como el efecto de dos condiciones, tratamientos o métodos de producción. Nuevamente, la comparación puede hacerse sobre la base de dos muestras al azar independientes: una con tamaño n1 extraída de una población con media m1 otra con tamaño n2 extraída de la otra población con media m2. (Hay muestras “dependientes” o “emparejadas”, cuya diferencia no puede ser analizada por los métodos siguientes.) Ahora, si Xl y X2 son las dos medias de la muestra, podemos evaluar la diferencia posible entre m1 y m2, Dm = m1 - m2, por la diferencia de las medias de las muestras, Dx = Xl - X2 Por ello, el problema en este caso es determinar las propiedades de la distribución de Dx por muestreo.

Sean m1 y s12, y m2 s22, las dos poblaciones progenitoras; entonces, es fácil ver que el valor esperado de Dx debe ser

E(Dx) = Dm = m1 – m2

El error estándar de Dx es

sDx = Ös12/n1 + s22/n2

Sabemos que la media de la muestra está normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es infinito Hay razón para creer, pues, que su diferencia, Dx, también debe estar normalmente distribuida cuando nI y n2 se aproximan al infinito. Así, para valores suficientemente grandes de nI y n2, la función de distribución acumulativa de Dx puede expresarse como P(Dx £ Dx0) = N (Dx0Dm)/sDx

Análisis Estadístico

Ya – Lun Chou

Tubos de acero producidos por cierto proceso tienen un diámetro medio de cinco pulgs y una desviación estándar de 0.1 pulg; ¿cuál es la probabilidad de que dos lotes, de 25 tubos cada uno, difieran en diámetro medio en: 1) 0.01 pulg o más?

Supongamos que cada lote es una muestra al azar de este proceso, y que las muestras son independientes; entonces, la distribución de Dx tiene

Sustitución Formula

E(Dx) = Dm = 5 – 5 = 0 E(Dx) = Dm = m1 – m2

sDx = Ö0.12/25 + 0.12/25 sDx = Ös12/n1 + s22/n2

sDx = 0.0283

Conclusion

P(Dx ³ 0.01) = 2N (-0.01/0.0283)

P(Dx ³ 0.01) = 2N (-0.35) = 0.7264

3.-Si muestras independientes de tamaños n1 y n2 se toman al azar de dos poblaciones, discretas o continuas, con medias m1 y m2 y variancias s12 y s22 respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las medias x1 – x2 es aproximadamente normal, con media y variancia dadas por

mx1-x2 = m1m2 y s2x1-x2 = s12 /n1 + s22 / n2

En consecuencia,

z = (x1 – x2) – (m1m2)

Ös12 /n1 + s22 / n2

Si n 1 y n 2 son mayores o iguales a 30, la aproximación para la distribución de X1- X2 es muy aceptable, sin importar la forma de las dos poblaciones. No obstante, aun cuando n1 y n2 son menores que 30, la aproximación normal es razonablemente buena, excepto cuando las poblaciones son con seguridad no normales. Desde luego, si ambas poblaciones son normales, entonces X1 - X2 tiene una distribución normal sin que importe si los tamaños son de n1 y n2.

Probabilidad y Estadística para Ingenieros

Walpole Myers

Se toma al azar una muestra de tamaño n1 = 5 de una población que está distribuida normalmente, con media m1 = 50 y variancia s12 = 9, y se registra la media de la muestra x1. Se selecciona una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 4, independiente de la primera muestra, de una población diferente que también está distribuida, en forma normal con media m2 = 40 y variancia s22 = 4, y se registra la media de la muestra x2 Obtenga P(X1 - X2 < 8.2)

Planteamiento Formula

n1 = 5 n2 = 4 z = (x1 – x2) – (m1m2)

s12 = 9 s12 = 4 Ös12 /n1 + s22 / n2

m1 = 50 m2 = 40

Sustitución

z = (8.2) – (50 – 40) = -1.08

Ö9 /5 + 4 / 4

Tabla

z 0.08

-1.0 0.1401

Gráfica

0.1401 10

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA UNA PROPORCIÓN

Definiciones

1.- Una distribución de este tipo indica cuán probable es un conjunto particular de proporciones muestrales, dados el tamaño de la muestra y la proporción de la población. Cuando el tamaño de la muestra es 20 ó menos, las probabilidades para los diferentes resultados posibles se pueden obtener directamente de una tabla de probabilidades binomiales simplemente convirtiendo el número de éxitos a porcentajes. Por ejemplo, tres ocurrencias en 10 observaciones sería el 30%, en tanto que 5 ocurrencias en 20 observaciones sería el 25%. Para tamaños muestrales mayores la aproximación normal a la binomial producirá valores bastante aceptables.

La media (proporción promedio o porcentaje) de la distribución de muestreo siempre es igual a la proporción de la población. Es decir

p=p

en donde p proporción de la población

p media de la distribución de muestreo de proporciones

Cuando la población es muy grande o infinita, la desviación estándar de la distribución de muestreo se calcula utilizando la fórmula

sp = Öp (1-p)/n

Estadística para Administración y Economía

William J. Stevenson

Un detallista compra vasos de cristal en grandes cantidades directamente de la fábrica. Tales vasos son envueltos uno por uno. Algunas veces, el detallista inspecciona las remesas para determinar la proporción de vasos rotos o defectuosos. Si un gran cargamento contiene el 10% de vasos rotos o defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el detallista obtenga una muestra aleatoria de 100 vasos que presenta el 17% o más de defectuosos?

Formula

sp = Öp (1-p)/n

Sustitución

sp = Ö(0.10)(1-0.10)/100

sp = 0.03

Ahora esto se puede usar para determinar la variación relativa

17% – 10% = +7% = 2.33sp = z

3% 3%

Tabla

z 0.03

2.3 0.0099

Gráfica

10% 17%

2.- Se define una proporción de población como p = n/N, donde k es el número de elementos que poseen cierto rasgo y N es el número total de unidades de la población. Se define una proporción de muestra como p = x/n, donde x es el número de unidades de la muestra que poseen cierto rasgo y n es el tamaño de la muestra. (Esto es un importante cambio de notación. Lo que solía ser P se llama ahora p, y P tiene ahora un significado muy diferente.) Así, una proporción de muestra puede considerarse como una proporción de éxitos y se obtiene dividiendo el número de éxitos por el tamaño de la muestra, n. Debido a esto, vemos que si se obtiene una muestra al azar de n, con reposición, la distribución por muestreo de p obedece la ley de probabilidad binomial, y podemos escribir su función de probabilidad acumulativa con nuestros nuevos símbolos, así:

P(p £ p0) = Sx=0 pon n px (1 – p) n-x

x

Si el límite superior de suma en, pon, no es un entero, redondéese hacia abajo (ignórese la parte fraccionaria). El valor esperado y la variancia de la distribución de p, obtenida dividiendo las medidas correspondientes del número de éxitos por n o n2, son, respectivamente,

E(p) = np = p

n

V(p) = np (1 – p) = p (1 – p)

n2 n

El error estándar de p, designado por sp, que mide las variaciones casuales de proporciones de muestra de una muestra a otra, es

sp = Öp (1 – p)/n Población infinita

sp = Öp (1 – p)/n ÖN-n / N-1 Población finita

Análisis Estadístico

Ya – Lun Chou

Una remesa de tubos electrónicos, 30 por cien son defectuosos. Si se extrae una muestra al azar de 500, con reposición de esta población ¿Qué debemos hacer para evaluar la distribución de la proporción de tubos defectuosos?

Formula

sp = Öp (1 – p)/n

Sustitución

E(p) = p = 0.3

sp = Ö0.3(1 – 0.3)/500 = 0.0205

3.- A menudo se desea saber la distribución muestral de estadísticos que surgen de datos que consisten en conteos. Un ejemplo de un estadístico así es la proporción muestral, la cual es un caso especial de la media muestral. Supóngase que se sabe que en alguna población la proporción de elementos con una característica particular es p. Se hace referencia a una población así como una población dicotómica debido a que cada sujeto u objeto en la población tiene (X = 1) o no tiene (X = O) la característica de interés. Se pueden usar gráficas para representar poblaciones dicotómicas. A menudo se tiene interés en hallar la probabilidad de observar en una muestra de tamaño n de esta población una proporción de elementos con la característica de interés tan extrema o más extrema que algún valor po especificado. Para hacer esto, es necesario conocer las propiedades de la distribución muestral de la proporción muestral p.

Este problema se relaciona con los problemas que se solucionaron por medio de la distribución binomial. Aquellos problemas que implicaban la determinación de la probabilidad de observar un cierto número de elementos con alguna característica en una muestra de tamaño n de una población en la que una proporción p de los elementos tenía esa característica. Aquí se tiene interés en la proporción, más que en el número, que tiene la característica de interés.

Los dos problemas están relacionados, en vista de que la proporción muestral es igual al número en la muestra que tiene la característica dividido entre el tamaño de la muestra.

Formula

z = p p Población Infinita

Öp(1-p)/n

z = p - p ÖN-n / N-1 Población Finita

Öp(1-p)/n

Estadística para Administración y Economía

Daniel Terrell

La Finaly Iron Works, fabricante de clavos, ha encontrado que el 3% de los clavos producidos están defectuosos. Supóngase que se examina una muestra aleatoria de 300 calvos. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción defectuosa este entre 0.02 y 0.035?

Planteamiento

P(0.02 £ z £ 0.035)

Formula

z = p p

Öp(1-p)/n

Sustitución

Obtener z1 Obtener z2

z = 0.02 0.03 z = 0.035 0.03

Ö0.03(1-0.03)/300 Ö0.03(1-0.03)/300

z = -1.02 z = 0.51

Tabla1 Tabla 2

z 0.02 z 0.01

-1.0 0.5411 0.5 0.6950

Gráfica

-1.02 0 0.51

Conclusión

P(-1.02 £ z £ 0.51) = P(z £ 0.51) – P(z £ -1.02)

P(-1.02 £ z £ 0.51) = 0.6950 – 0.1539

P(-1.02 £ z £ 0.51) = 0.5411

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA DOS PROPORCIONES

Definiciones

1.-Cuando dos muestras al azar extraídas de dos poblaciones binomiales son comparadas, una debe trabajar solo con la proporción de éxitos, no con el numero de éxitos, a menos que ambas muestras sean del mismo tamaño. Por ejemplo, durante unas elecciones presidenciales, se toma una muestra de 100 electores de un estado y se encuentra que 40 están en favor del candidato A, otra muestra de 150 electores es tomada de un segundo estado y se encuentra que 50 están en favor del candidato A. Claramente, estos dos conjuntos de cifras no pueden ser evaluados, a menos que sean reducidos a proporciones. Específicamente, lo que necesitamos aquí es un modelo de probabilidades para la diferencia de dos proporciones.

Se extraen dos muestras al azar independientes. (Hay muestras “dependientes” o “emparejadas”. cuya diferencia no puede ser analizada por los métodos que se exponen a continuación.) La primera muestra es de tamaño n1 de una población binomial con p y la segunda es de tamaño n2 de una población binomial con p2. Entonces, la diferencia de las dos proporciones de muestras, Dp = p1 – p2, es también una estadística de muestra cuya distribución de probabilidades tiene como su valor esperado

E(Dp)= Dp = p1 – p2

Y como error estándar; Dsp = Öp(1 – p)/n1 + p(1 – p2)/n2

Análisis Estadístico

Ya – Lun Chou

Se cree que 10 por 100 de las baterías producidas por la compañía A son defectuosas, y que 5 por 100 de las producidas por la compañía B son defectuosas. Una muestra al azar de 250 unidades es tomada de la línea de producción de la compañía A y se encuentra que 20 son defectuosas; una muestra al azar de 300 unidades es tomada de la línea de producción de la compañía B y se encuentra que 18 son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener esta diferencia o una menor en proporciones de muestra si la creencia acerca de los parámetros de población es correcta? (Obsérvese que “esta diferencia o una menor se refiere a ciertos valores positivos de Dp, un valor cero y todos los valores negativos.)

Sustitución

sDp = Ö0.1(1 – 0.1)/250 + 0.05(1 – 0.05)/300 = 0.0228

P(Dp £ 0.02) = N ( 0.02 – 0.05)/0.0225

P(Dp £ 0.02) = N(-1.32)

Formula

sDp = Öp(1 – p)/n1 + p(1 – p2)/n2

Tabla

z 0.02

-1.3 0.0934

Gráfica

0.0934 0

Conclusión

P(Dp £ 0.02) = 0.0934

2.- A menudo hay dos proporciones poblacionales de interés y se desea determinar la probabilidad asociada con una diferencia observada entre dos proporciones muestrales, donde se extrae una muestra independiente de cada una de las dos poblaciones. La distribución muestral relevante es la distribución muestral de la diferencia entre dos proporciones muestrales. Se puede describir como sigue.

Supóngase que muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 son extraídas de dos poblaciones, donde las proporciones de las observaciones con la característica de interés en las dos poblaciones son p1 y p2, respectivamente. Cuando n1 y n2 son grandes, la distribución de la diferencia entre proporciones muestrales p1 - p2 es aproximadamente normal, con media

mp1-p2 = p1 – p2 y varianza s2p1-p2 = p1(1 – p1) + p2(1 – p2)

n1 n2

Se consideran n1 y n2 suficientemente grandes cuando n1p1, n2p2, n1(1-p1) y n2(1 – p2) son todos mayores que 5.

Para responder preguntas de probabilidad respecto a la diferencia entre dos proporciones muestrales, se transforman los valores de p1-p2 a valores de la distribución normal estándar usando la siguiente fórmula:

Z= (p1 – p2) (p1 p2)

Öp1(1 – p1)/n1 + p2(1 – p2)/n2

Para construir la distribución muestral de la diferencia entre dos proporciones para poblaciones finitas, se sigue el mismo procedimiento usado para la construcción de la distribución muestral de la diferencia entre dos medias muestrales.

Estadística para Administración y Economía

Daniel Terrell

Se afirma que el 30% de los hogares en la Comunidad A y el20% de los hogares en la comunidad B tiene al menos un adolescente. Una muestra aleatoria simple de 100 hogares de cada comunidad produce los siguientes resultados: pA = 0.34, pB = 0.13. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia de esa magnitud o mas grande si las afirmaciones son ciertas?

Formula

Z= (p1 – p2) (p1 p2)

Öp1(1 – p1)/n1 + p2(1 – p2)/n2

Sustitución

mPa-pB = 0.3 – 0.2 = 0.1

s2pA – Pb = (0.3)(0.7) + (0.2)(0.8) = 0.0037

100 100

p A – p B = 0.34 – 0.13 = 0.21

z = 0.21 - 0.10 = 0.11 = 1.83

Ö0.0037 0.06

Tabla

Z 0.03

1.8 0.0336

Gráfica

0 1.83

3.-Las medias (proporciones promedio o porcentaje) de la distribución de muestreo siempre es igual a las proporciones de la población. Es decir p 1=p1 en donde p es la proporción de la población y p1 es la media 1de la distribución de muestreo de la proporción y p2 = p2

Probabilidad y Estadística para Ingeniería

Ronald E. Walpole, Raymond H Myers

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA UNA MEDIA

Definiciones

1.- La distribución de probabilidad de un estadístico recibe el nombre de distribución muestral. La distribución de probabilidad de X se llama distribución muestral de la media.

Probabilidad y Estadística para Ingeniería

Ronald E. Walpole, Raymond H Myers

2.- Si una muestra aleatoria de tamaño n se elige de una población con media m y una varianza s 2 , entonces x es un valor de una varianza aleatoria cuya distribución tiene muestra m.

Probabilidad y Estadística para Ingenieros

Irwin Miller, John E. Freund

3.- Algunos problemas de decisión en los negocios requieren a menudo de la estimación de la media m de una población. La Estimación de la m resulta una importante aplicación práctica de la inferencia estadística.

Estadística para Administración y Economía

Mendenhall / Reinmuth

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA DOS MEDIAS

Definiciones

1.- Si se sacan al azar muestras independientes de tamaño n1 y n2 de dos poblaciones discretas o continuas, con medias m1 y m2 y variancias s1 2 y s2 2 respectivamente , entonces la distribución muestral de la diferencia de medias , X1 – X2 está distribuida en la forma normal con media.

Probabilidad y Estadística para Ingeniería

Ronald E. Walpole, Raymond H Myers

2.- Una muestra de tamaño n se elige al azar de una población entonces X es un valor de la variable aleatoria cuya distribución tiene media mX1 y mX1- X2 = X

Probabilidad y Estadística para Ingenieros

Irwin Miller, John E. Freund

3.- Una distribución de muestreo de medias es de tipo probabilístico e indican cuán probables son diversas medias de la muestra. La distribución es una función de la media, de la desviación estándar de la población y del tamaño de la muestra.

Estadística para Administración y Economía

Mendenhall / Reinmuth

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA UNA PROPORCIÓN

Definiciones

1.- Un estimador puntual de la proporción p en un experimento binomial está dado por el estadístico P = x / n donde x representa los éxitos y n los intentos. Por lo tanto la proporción muestral p = x / n se utiliza como la estimación puntual del parámetro.

Estadística para Administración y Economía

Daniel Terrell

2.- Una distribución de este tipo indica cuán probable es un conjunto particular de proporciones muestrales , dados el tamaño de la muestra y la proporción de la población.

Estadística para Administración y Economía

Mendenhall / Reinmuth

3.-La media (proporción promedio o porcentaje) de la distribución de muestreo siempre es igual a la proporción de la población. Es decir p (testada) =p en donde p es la proporción de la población y p testada es la media de la distribución de muestreo de la proporción)

Probabilidad y Estadística para Ingeniería,

Ronald E. Walpole, Raymond H Myers

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA DOS PROPORCIONES

Definiciones

1.- La distribución de este tipo indica cuán probable es un conjunto particular de 2 proporciones muestrales , dados el tamaño de la muestra y la proporción de la población, tomadas de p1 y p2.

Estadística para Administración y Economía

Mendenhall / Reinmuth

2.- Un estimador puntual de la proporción p en un experimento binomial está dado por el estadístico P = x / n donde x representa los éxitos y n los intentos. Por lo tanto las proporciones muestrales p1 = x / n1 y p2 = x / n2 se utiliza como la estimación puntual del parámetro.

Probabilidad y Estadística para Ingenieros

Irwin Miller, John E. Freund

3.-Las medias (proporciones promedio o porcentaje) de la distribución de muestreo siempre es igual a las proporciónes de la población. Es decir p 1=p1 en donde p es la proporción de la población y p1 es la media 1de la distribución de muestreo de la proporción y p2 = p2

Probabilidad y Estadística para Ingeniería

Ronald E. Walpole, Raymond H Myers

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3 comentarios to “Trabajo práctico: Probabilidad y Estadística (Distribución Muestral)”

  1. lilibeth urbina Says:

    es necesari la formula para clcular la proporsion cm tal, la formula de la media y concepto de la distribuccion. y un ejercicio planteado para poder ejecutar los poblema resuelta en estadistica como debe ser seria perfecto si estuviera todo lo anterior ya nombrado para la realizacion de los trabajo………………………………………………………………………………………………………………………….?

  2. yairis sarmiento Says:

    sobre distribucion muestal


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